1. modelos matemáticos y experimentales

 1. modelos matematicas experimentales

1.1 definicion

1.2 tipos de procesos

1.3 tipos de modelos

1.4 transformada de laplace

1.5 funcion de transparencia

1.6 funcion de transferencia y ecuaciones de estado

1.7 linealizacion

1.8 retardos de trasporte

1.9 escalado

1.10 diagrama de bloques

1.10.1 algebra de bloques

1.11 efecto temporal de polos y ceros

1.12 resumen

1.1 definicion

un modelo es una descripcion y reproduccion de un proceso determinado para analizar su comportamiento.

1.2 tipos de procesos

hay muchas formas de clasificar sus procesos y modelos de acuerdo con su funcion: valvulas, tanques, hornos,

por industria: metalurgia, automotriz alimento

por sus caracteristicas fisicas: termicos, quimicos 

los ingenieros de control los clasifican de acuerdo asus caracteristicas dinamicas:

linealidad

estabilidad

resonancia

retardos

adelanto o retraso de fase

1.3 tipos de modelos

atributo              atributo antagonico    determina si

siso                    mimo                           las ecuaciones del modelo tienen una entrada y 

                                                                                                                           salida

lineal                  no lineal                     las ecuaciones del modelo son variables en las 

                                                                                                                          ecuaciones del sistema

estacionario      no estacionario            los parametros del modelo son constante

continuo             discreto                      las ecuaciones determinan su comportamiento a cada      

                                                                                                                          de tiempo, o solo en muestra discreta

entrada-salida     espacio de estados    las ecuaciones dependen solo de las entradas y 

                                                                                                                           salidas, o tambien de variables de estado

1.4 transformaciones

lo que se busca es encontrar una descripcion del sistema de modo que exista una relacio algebraica entre entrada y salida

y= GxU

en el dominio tiempo, lo mas cercano a esto es el producto de convulocion 

y(t)=g(t)*u(t)=  /  g(T)u(t-T)dT

donde g(t) es la respuesta del sistema cuando es exitado por una delta de didal es un poco compleja de resolver.

se busca transformaciones, 

en el dominio frecuencialy mediante la transformada de fourier se logra que

y(w)=G(w)xU(w)

en donde y(W) y U(w) son las transformadas de fourier de la salida y entrada de G(w) es la respuesta de frecuencia de la planta.

pero esta transformada no es comoda para trabajar con señales no periodicas.

1.4.1 transformada de laplace

x(s) =L {X(t) =∫x(t)e  dt

s=6+jw

la propiedad fundamental es:

L(g(t)*u(t))=(Gs)xU(s)=y(s)

1.5 funcion de transferencia

relacion entre entrada y salida en transformada de laplace con condiciones iniciales nulas.

generalmente incluye la dinamica de los actuadores y sensores sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo.

a₀y +a₁yⁿ⁻¹+···+an-1y+any=b0u⁽

con m^n

se puede factorizar

1.6 funcion transferencia de estado

un sistema podria describirse en forma de ecuaciones de estado

x(t)Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du (t)

... si aplicamos transformada de la laplace obtenemos las ecuaciones algebraicas

sX (s)-x(0)=AX(s)+BU(s)

      y(s)=CX(s)+DU(S)

X(S)=(sI-A)X(O)-(SI-A)BU(S)

Y(s)=[c(sI-A)B+D]U(s)+C(sI-A)X(0)

la funcion de transparencia sera

G(s)=C(sI-A)B+D

(no completalas condiciones iniciales)

terminologia

zi ceros de G (s)

1.7 la linealizacion

todo sistema es no lineal

cosideracion:

desviacion pequeña del punto de trabajo

desarrollo en serie de taylor

1.8 retardos de trasporte

  Ls{б(t)}=∫б(t)edt=1

impulso desplazo de un tiempo T 

LS{б(t-T)}=e

no es racional

1.9 escalado

un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena seleccion de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo.

un buen escalamiento hara los calculosmas simples y mas preciso y disminuira enormemente los problemasde simulacion en computador

1.10 diagramas de bloques

capturan la esecia del sistema en su formalismo graficoobstracto de simple manipulacion. representan el flujo y prosesamientos de las señale dentro del  sistema. 

los diagramas de bloques permitenver la similitud esencialentre distintos tipos de sistemas (independizan el dominio fisico). 

bomba

sistema fisico:

bomba

caudal de salida

señal de velocidad

diagrama de bloques:

señal de velocidad- funcion de transferencia G- caudal de salida

1.11 efecto temporal de polos y ceros

"hoy es facil y muy didactico calcular polos, ceros,respuestas al escalon y division en fracciones simples" 

g=tf(1,poly([-1]));[y,t]=step(g);plot(t,y);grid;([0 6 0 1.5])

pzmap(g);sgrid;axis([-2 1 -1])

1.12 resumen

para poder diseñar en forma sistematicaun controlador para un sistema es nesesario disponer de una descripcion normal. aunque posiblemente simpledel mismo. esta descripcion es el modelo matematico del sistema. los modelos matematicos pueden obtenerse en forma experimental o analitica, y en general, en la practica, mediante una combinacion de ambos metodos.

en general, los modelos matematicos involucran un conjuto de ecuaciones diferentes no lineales. en muchos casos, estas ecuaciones pueden linearse al rededor de un punto de, con lo que se obtiene un modeloincremental lineal mucho mas tratable.

la eleccio de unidadesadecuadas (escalado) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelosdesde el punto de vista computacional.

las funciones transferencias describenlas propiedades de entrada-salida de los sistemas en forma algebraicaen el dominio laplace.

EJERCICIOS

CON EL AUXILIO DE LA  DE UNA TRANSFORMADA DE LA PLACE Y LAS PEOPIEDADES DE LA TRANFORMADA ENCUENTRESE LA TRANSFORMADA F(s)   DE LA SIGUIENTE FUNCION

F(t)= U(t)-e-t+ te-t

SOLUCION

ejercicio de sistemas mecánicos traslacionales